प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन ज्ञा | vedclass

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Question

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ है। वर्गों का योग

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$\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$

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(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ है। वर्गों का योग $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है। प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$ है। $\sigma^2 = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2-3n-3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$ है। अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ है।

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

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